（二）引进无限带来的悖论
《墨子·经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如果在有限中
引进无限，就可能引起悖论。
2－1 阿基里斯悖论
稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea），曾经提出过一些著名的悖论，
对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。
阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不
可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动
了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度
量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S，速度分别为V1和V2
。当时间T＝S／（V1－V2）时，阿基里斯就赶上了乌龟。
但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为T’
。对于任何T’，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T’无法度
量T＝S／（V1－V2）以后的时间。
2－2 二分法悖论
这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D，它必须首先到达距离D的
二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，
这个物体永远也到达不了D。
这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。
芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完 善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟，那么，“这是
一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的 ，没有逻辑可靠。
他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运
动佯谬：
2－3 “飞矢不动”
在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动
没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是
运动？中国古代也有类似的说法，如：
2－4 “飞鸟之景，未尝动也”
这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避
的实事相冲突。
德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为“
否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么
“不合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界
里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾。
尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可
能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动，它完全没有移位
，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。
换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没有运动。最
后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起的非一的幻象。下面是
尼采的分析：
假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。
这是一个荒谬的观念！
假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间。又是一个
荒谬的观点！
假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有
限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念！
尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被
当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空间，
就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对的多样性，就不会有统一
性。
事实上，这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一，今天都已经得到了完美的解
决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由于没有巩固的理论
基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了
极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分
的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。
可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不
同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官
为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采
的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。
2－5 “一尺之捶，日取其半，万世不竭”
这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。
战国名家宋国人惠施（约公元前370－前310）曾任梁国的宰相，论辩奇才，是庄子
的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能从其他诸家的论述中
看到他的言行片段。
惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关
的奇怪命题，例如，“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不
热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等，都可以说是悖论，但是大部份没
有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。
毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九XXXXX年八月十八日，他同哲学
工作者谈话时说：“列宁讲过，凡事可分。举原子为例，不但原子可分，电子也可分。”
又说：“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。‘一尺之捶，日取其半，万世
不竭’，这是个真理。不信，就试试看。如果有竭就没有科学了。”
有人注意到，毛泽东十分偏爱这句话，如五十年代中期对家钱三强，一九XXXXX年八月同周
培源、于光远，一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道，等等，都提到这句话。
2－6 “1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”
多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托
尔（1845－1918）六年以后向无穷宣战。他成功地证明了：一条直线上的点能够
和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，1厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。
然而，康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”
同时，集合论中也出现了一些自相矛盾的现象，尤其是罗素的理发师悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。此后，数学家们进行了不懈地探讨
。
例如，一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》，这本书以罗素的《数学原理》（1903）为蓝本的，试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF（Independence-Friendly First-Order Logic）逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念，如公理集合论作为数学理论的适当框架，对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引起一场逻辑和数学基础的革命？我们还将拭目以待。
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